通俗算法03 - 人人都能懂的图灵机原理

上一讲我们知道了图灵机在历史上出现的原因，它是一个计算模型，用来判定一个问题到底可不可解，那么它是如何判定的呢？

在本篇文章开始之前，我们先来看一段视频：

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图灵机的构成

为了方便讲述图灵机的构成，我从视频中截取了一张图：

视频中的图灵机是用现代工艺做的，可以看到图灵机并不复杂，它做的事情很简单。当机器处于“Read”状态的时候，会从纸带上读内容，完了经过某种计算再向左或向右移动，然后在当前位置写上符号 0 或 1（如果已经有符号会先擦除），下面有个状态(State)会变化，另外还显示了当前的位置(Position)和步数(Step)。

从上面图中我们可以看到，图灵机就是一个机器（称为控制器）和一根纸带组成的。

控制器，包含用来写内容的“笔”、“擦子”。它可以向纸带读、写、改数据，所读内容我们可以理解为程序语句；它可以使纸带左右移动；它还有一个可以变换的状态。

纸带，左右两边无限延长，纸带上可以写内容（也就是存储），内容可以是数字和字母。我们可以把纸带理解为存储器。

我们再来看看图灵机是怎么工作的。

图灵机运行原理

首先图灵机工作前，需要先在纸带上写好一些符号，例如“1 1 0”：

加粗的方格表示当前控制器笔头指向的位置。现在我们编写一段简单的程序，这段程序用表格表示是这样的：

这个程序很容易理解，比如表格的第三行（即最后一行），意思就是当程序读取到 1 时，在当前位置写入 0，再向右移动一格。假设我们已经把这段程序输入到机器中了，然后机器开始运作。

首先机器读取纸带当前的符号，如上面的纸带图，读取到的是“0”，匹配程序表的第二行，按照程序的指示，应该在当前位置写入“1”再向右移一格，过程如下两个纸带图所示：

机器继续读取当前位置的符号，读取到的是“1”，匹配程序表的第三行，然后按照程序的指示在当前位置写入“0”，再向右移一格，这一步图示如下：

依此继续执行，最后一步图示如下：

最后读取到空白时，按照程序的指示，既不写也不移动。事实上这个程序并不完整，还存在问题，例如怎样才能让机器停止，又如何让机器不停地重复读取、写入和移动的过程呢？

我们还要在程序中加入状态，控制器必须要有记录状态的功能。为什么一定要加入状态呢？因为如果没有状态的话，在纸带有限的符号下，程序表只能是有限的行数。比如示例中的纸带有三种符号：0、1 和空白，那么程序表最多也就只能是三行，机器最多只能执行三种可能的动作。加入状态后，假如状态有 0 或 1 两种，那么程序表的行数就可以增加到 2x3=6 行，这称为 3 符号 2 状态图灵机。

例如下面是一个含有两种状态的程序表：

机器每一步需要结合当前的状态再来执行相应的操作，所以在机器运行前，需要有个初始状态。机器执行完一步后，按照指示修改状态，以备下一步使用。

假如机器的初始状态为 0，继续使用上面最后一步的纸带，当前指向的是空白，那么匹配的是表格的第一行，按照程序指示，在当前位置写入空白，并向左移一格，图示如下：

依次类推，后续步骤的图示如下：

一步步这样匹配演示下来，上图对应的最后一步是向左移一格后指向了空白，状态变为了 1（匹配的是第五行）。此时，继续执行，当前位置是空白，当前状态是 1，那么匹配的是表格的第四行，向右移一格，状态变为停止，如下图示：

这样图灵机就完成了一次计算。纸带由“001”通过给定的程序计算变成了“110”，如果把它们看成二进制的话，其实是做了一次 1+5=6 的运算。

随着控制器状态增多，那么我们就可以编写越复杂的程序，也就能和现代计算机一样执行复杂的算法。

好了，知道了图灵机的运行原理，我们再回到开篇提到的问题，既然说图灵机是一种计算模型，那么它怎么来判定一个问题有没有解呢？

图灵机停机

如果图灵机成功完成了一次计算，我们就说图灵机成功停机了。停机就意味着计算结束并得出结果，停机后纸带上的符号就是计算结果。

当我们遇到一个问题，比如说输入 A，问：能否由 A 计算出 B？图灵机能帮我们做一个判定，如果我们能在 A 与 B 之间找到或设计出一个图灵机程序，使输入 A 停机得到的结果是 B，就说明这个问题可解，否则就说明这个问题不可解。

图灵机就是这样解决“可计算性的判定”问题的，这是图灵机的一个重大意义。另外，我们可以看到图灵机给出了一个可实现的通用计算模型，还引入了存储器、程序、控制器等概念的原型，为现代计算机奠定了基础，这也是图灵机为什么受到人们重视的原因。

参考：

https://www.cl.cam.ac.uk/projects/raspberrypi/tutorials/turing-machine/one.html